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基礎科目 令和元年度再試験 Ⅰ-1-1

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 次の各文章における   の中の記号として,最も適切なものはどれか。

1) n個の非負の実数a1,a2,…,anに関して
  ^n \sqrt{a_1 a_2 … a_n}  ア   \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n}


の関係が成り立つ。

2) 0 < θ ≦ π / 2において
  \frac{sinθ}{θ}  イ   \frac{2}{π}
の関係が成り立つ。

3) ある実数区間Rで微分可能な連続関数f(x)が定義され,f(x)のxでの2階微分f''(x)につき,f''(x) > 0であるものとする。このとき実数区間Rに属する異なる2点x1,x2について
  f(\frac{x_1 + x_2}{2})  ウ   \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}
の関係が成り立つ。

 

 
= =
=
= <
< =
<

 

解答

 ⑤

解説

1) n個の非負の実数a1,a2,…,anに関して
  ^n \sqrt{a_1 a_2 … a_n}     \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n}
の関係が成り立つ。

相加相乗平均の不等式になります。
なお,等号が成り立つのは,全ての実数が等しい場合です。

2) 0 < θ ≦ π / 2において
  \frac{sinθ}{θ}     \frac{2}{π}
の関係が成り立つ。

sinθ と θ / ( π / 2 ) の比較を考えると,
θ → 0 および θ = π/2 で等しくなることがわかります。
またsinθをグラフ化(横軸をθ)すると上に凸である一方,θ / ( π / 2 )は線形であるため,
0 < θ < π/2 においては,sinθ ≧ θ / ( π / 2 ) となります。
したがって, sinθ / θ ≧ 2 / π となります。

3) ある実数区間Rで微分可能な連続関数f(x)が定義され,f(x)のxでの2階微分f''(x)につき,f''(x) > 0であるものとする。このとき実数区間Rに属する異なる2点x1,x2について
  f(\frac{x_1 + x_2}{2})  <   \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}
の関係が成り立つ。

二階微分が正であるということは,f(x)をグラフ化すると下に凸になります。
よって,2点(x1,x2)の中間点でのf(x)の方が,それぞれの点でのf(x)の平均よりも小さくなります。

参考情報

過去の出題

 なし

オンラインテキスト

(準備中)