技事録係

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基礎科目 令和元年度 Ⅰ-3-2

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 座標(x, y)と変数r, sの間には,次の関係があるとする。

x = g(r, s)
y = h(r, s)

 このとき,関数 z = f(x, y) のx, yによる偏微分とr, sによる偏微分は,次式によって関連付けられる。

 \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂r} \\ \frac{∂z}{∂s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} J \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} \end{bmatrix}

ここに[J]はヤコビ行列と呼ばれる2行2列の行列である。[J]の行列式として,最も適切なものはどれか。

①  \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s} + \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s}

②  \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s}

③  \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

④  \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} + \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

⑤  \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

 

 

解答

 ⑤

解説

 まず関数zを偏微分すると,
   \frac{∂x}{∂r} = \frac{∂z}{∂x}\frac{∂x}{∂r} + \frac{∂z}{∂y}\frac{∂y}{∂r}
   \frac{∂x}{∂s} = \frac{∂z}{∂x}\frac{∂x}{∂s} + \frac{∂z}{∂y}\frac{∂y}{∂s}
となります。

 これを与式に沿って行列で表すと,
   \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂r} \\ \frac{∂z}{∂s} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{∂x}{∂r} \frac{∂y}{∂r} \\ \frac{∂x}{∂s} \frac{∂y}{∂s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} \end{bmatrix}
となります。

 行列 \begin{bmatrix} a b  \\ c d  \end{bmatrix} の行列式は,ad − bc となるため,
ヤコビアンJの行列式は,
   \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}
となります。

参考情報

過去の出題
  • 平成24年度 Ⅰ-3-3
オンラインテキスト

(準備中)